경제학과 미분 (feat. 가장 쉬운 미분 수업)

가장 쉬운 미분 수업

 

미분의 개념

 

미분을 한 마디로 말한다면 곡선의 어느 한 점에서 접선을 그었을 때, 그 접선의 기울기라고 할 수 있다. 이 책에서는 언덕을 오르는 개미를 이용하여 그 개념을 설명하고 있는데, 즉, 언덕을 오를 때 각각의 지점에서 개미가 느끼는 언덕의 경사의 정도인 것이다. 

 

가장 쉬운 미분 수업 (p.34)

 

 

그러면 이러한 곡선에 접한 접선의 기울기를 어떻게 구할 수 있을까? 수학자들은 기울기의 수치를 곡선위의 임의의 두점 사이의 변화량을 측정함으로써 기울기를 구하려고 하였고, A점에서 B점으로 무한대로 이동할 때, 마침내 두 점이 합쳐지는 점에서의 접선의 기울기를 구하는 것을 미분식으로 나타내었다. 

 

가장 쉬운 미분 수업 (P. 120)

 

 

미분을 나타내는 표기법으로 f'(x)를 쓰는데, 또 다른 표기법으로  dy/dx와 같이 나타내기도 한다. 이것은 라이프니치가 고안한 방법으로 'y를 x에 대해서 미분한다'는 것을 표현한 것이다. 

 

위 그림을 미분식으로 표현하면 다음과 같다. 

 

 

h값을 극단적으로 작게 만드는 과정을 끊임없이 반복할 경우 즉, h값이 0에 한없이 가까워지게 되면 B점은 A점에 한없이 가까이 다가가게 된다. 0에 가깝게 하지만 결코 0이 아닌 무한히 작은 값으로 만들어서 계산한 값은 실제 접선의 기울기로 수럼한다. 

 

이 책에서는 위 공식을 미분만능키라고 부르고 있다. 미분만능키를 이용하여 2차함수를 미분하는 방법을 구해보면 다음과 같다. 

 

가장 쉬운 미분 수업 (pp. 122~123)

 

만능키를 여러 n차 다항함수에 적용해보면, 결국 x의 n승을 미분하면 nx의 n-1승이 된다. 

 

 

경제학과 미분

 

경제학에서 미분이 사용되는 경우는 아주 많다. 예를 들어 한계비용(Marginal Cost)이나 한계수입(Marginal Revenue)를 구할 때, 총비용과 총수입을 각각 미분하여 구할 수 있다. 즉, 총비용과 총수입을 그래프로 나타내면 포물선 모양의 곡선이 되는데, 그 곡선의 접선의 기울기를 한계비용이나 한계수입이라고 할 수 있다.

 

한계비용이나 한계편익이라는 용어가 어려운 것 같지만, 쉽게 말하자면, 한계비용은 동일한 제품에 대해 추가생산에 따른 비용의 증가분을 말하고, 한계편익은 추가소비에 따른 편익의 증가분이라고 할 수 있다. 

 

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다음은 미분으로 푸는 경제학 예제이다. 첫번째 예제는 두 사람의 효용함수가 주어질 때, 그것의 한계편익을 미분으로 구한 후, 한계편익과 한계비용이 같아지는 최적의 점을 찾는 문제이다. 

 

 

풀이)

두 사람의 효용함수를 D에 대해 미분하면 A의 한계편익 MB = 20-2D, B의 한계편익 MB = 12-4D가 나온다. 사회적 한계편익(SMB)을 구하기 위해 두 식을 합하면  SMB = 32-6D가 된다.

 

최적공연 횟수를 구하기 위해 SMB = MC로 두면 32-6D = 2D이므로 최적 공연횟수 D = 4가 된다. 

 

두번째 예제는 총비용이 극소가 되는 가결률을 구하는 것으로, 먼저 총비용을 미분하여, 그 값이 0이 되도록 하여 구하는 것이다. 

 

풀이)

미분 예제

 

 

세번째 예제는 제곱근이 쓰인 문제인데, 제곱근은 1/2승이라고 볼 수 있고, 각각의 효용함수를 미분하여 두 사람의 한계효용이 동일해지는 값을 찾는 경우이다. 

 

풀이)